Application of advanced statistical procedures for adjustment of measurement results in engineering surveying
Józef Czaja, Janusz Andrzej Dąbrowski
Vol. 12, no. 4 (2018), pp. 33-44
Measurements in engineering surveying are aimed at determining the coordinates of the points of a geodetic control, spatially setting out a technical design of an engineering structure, determining the spatial coordinates of points (or their displacement) that represent an engineering structure, and identifying the displacement and deformation of a studied engineering structure. Provided that the aforementioned measurements are to represent the same engineering structure, such observation results should be settled (adjusted) in one calculation process. The application of the Gauss–Markov theorem for this adjustment using covariance matrix Cov(L) for observed values L is the classical approach for adjusting the results of surveying observations of various accuracy (taking into account accuracy weights). Determining the displacements of points in the process of adjusting the results of periodic measurements, applying different methods of tying geodetic controls to national networks, and using various instruments and measurement methods result in the individual displacement components or coordinates of the observed points being determined with different accuracies. This circumstance forms the basis for the assumption that the estimated parameters (unknown values) should be random. This paper will formulate the principles of estimation of Gauss–Markov models in which the estimated parameters (X) are random. For this purpose, methods for the prior definition of covariance matrix CX for the estimated parameters will be provided, which will be used to determine the conditional covariance matrix of observation vector L and then to estimate the most probable values of the Xˆ parameters. Covariance matrix Cov(Xˆ) obtained as a result of this estimation will be used to define the limit values of the variances of these parameters.
Celem pomiarów w geodezji inżynieryjnej może być: wyznaczanie współrzędnych punktów osnowy realizacyjnej, wytyczenie w przestrzeni projektu technicznego obiektu inżynierskiego, wyznaczenie przestrzennych współrzędnych punktów lub ich przemieszczeń reprezentujących obiekt inżynierski oraz określenie przemieszczeń i odkształceń badanego obiektu inżynierskiego. Jeżeli wyżej wymienione pomiary odnoszą się do obiektu inżynierskiego, to takie wyniki obserwacji powinny być uzgadniane (wyrównywane) w jednym procesie obliczeniowym. Zastosowanie do tego wyrównania modeli Gaussa–Markowa z wykorzystaniem macierzy kowariancji Cov(L) dla wielkości obserwowanych L stanowi klasyczne postępowanie wyrównywania różnodokładnych wyników obserwacji geodezyjnych, z uwzględnieniem wag dokładności. Wyznaczanie przemieszczeń punktów w procesie wyrównywania wyników okresowych pomiarów, stosowanie różnych sposobów nawiązywania osnów realizacyjnych do sieci państwowych oraz wykorzystywanie różnych przyrządów i metody pomiaru – wszystko to powoduje, że poszczególne składowe przemieszczeń lub współrzędne obserwowanych punktów będą określane z różną dokładnością. Ta okoliczność jest podstawą założenia, że szacowane parametry (niewiadome) powinny mieć charakter losowy. W artykule sformułowano zasady estymacji modeli Gaussa–Markowa, w których szacowane parametry X mają charakter losowy. W tym celu podano sposoby określania a priori macierzy kowariancji CX dla estymowanych parametrów, która została wykorzystana do wyznaczenia macierzy kowariancji warunkowych wektora obserwacji L, a następnie do estymacji najbardziej prawdopodobnych wartości parametrów Xˆ. Uzyskana w wyniku tej estymacji macierz kowariancji Cov(Xˆ) została wykorzystana do ustalenia granicznych wartości wariancji tych parametrów. Praktyczne zastosowanie proponowanego sposobu estymacji modelu G-M do wyznaczania pionowych przemieszczeń powierzchni osuwiska, dla parametrów losowych, zostało zilustrowane na przykładzie fragmentu niwelacyjnej sieci punktów.